1. Base de la propagation électromagnétique
Équations de Maxwell :
\(\nabla \times \mathbf{E} = -\mu \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} - \sigma_m \mathbf{H}\)
\(\nabla \times \mathbf{H} = \epsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \sigma \mathbf{E}\)
où \(\epsilon\) est la permittivité, \(\sigma\) la conductivité et \(\mu\) la perméabilité.
Méthode FDTD (Finite-Difference Time-Domain) : La discrétisation spatiale est réalisée via un maillage de Yee, et les dérivées temporelles sont approchées par des différences centrales, permettant une mise à jour alternée des champs électrique et magnétique.

2. Modélisation des canalisations
Modélisation cylindrique : La canalisation est discrétisée en plusieurs éléments cylindriques concentriques. La réponse de chaque élément est calculée comme un dipôle magnétique.
Milieu hétérogène : Le modèle semi-empirique de Peplinski est utilisé pour relier les paramètres diélectriques aux caractéristiques physiques du sol, telles que la composition granulométrique et la teneur en eau.

Étapes d'implémentatino (MATLAB/Python)

1. Configuration de l'environnement

% Dépendances MATLAB
addpath(genpath('gprMax')); % Charger la boîte à outils GprMax
gpuArray('on'); % Activer l'accélération GPU (nécessite Parallel Computing Toolbox)

2. Paramétrage (exemple pour une canalisation métallique)

% Paramètres géométriques
diametre_conduit = 0.5; % Diamètre (m)
profondeur_canalisation = 2.0; % Profondeur d'enfouissement (m)
espacement = 1.0; % Espacement entre canalisations (m)

% Paramètres électromagnétiques
eps_r = 3.5; % Permittivité relative
sigma = 0.01; % Conductivité (S/m)
frequence_centrale = 1000; % Fréquence centrale (MHz)

% Paramètres du maillage
pas_x = 0.005; % Pas spatial en x (m)
pas_z = 0.005; % Pas spatial en z (m)
pas_t = 0.005; % Pas temporel (ns)

3. Code central de la simulation FDTD

%% Initialisation des champs
Champ_Ex = zeros(Nx, Nz);
Champ_Hy = zeros(Nx, Nz);

%% Boucle principale (progression temporelle)
for iteration = 1:nb_iterations
    % Mise à jour du champ magnétique
    Champ_Hy(2:end-1, :) = Champ_Hy(2:end-1, :) - (pas_t/pas_x) * (Champ_Ex(2:end, :) - Champ_Ex(1:end-1, :));
    
    % Mise à jour du champ électrique (incluant la réponse de la canalisation)
    for idx = 1:nombre_conduits
        [Champ_Ex, Champ_Hy] = integrer_reponse_conduit(Champ_Ex, Champ_Hy, position_conduit(idx,:), rayon_conduit, frequence_centrale);
    end
    
    % Conditions aux limites (CPML)
    [Champ_Ex, Champ_Hy] = appliquer_cpml(Champ_Ex, Champ_Hy, sigma_cpml);
end

4. Implémentation GPU (Noyau CUDA)

// Fonction noyau CUDA (Mise à jour du champ Hy)
__global__ void miseAJour_Hy(float* Hy, float* Ex, float dt, float dx, int dim_x, int dim_z) {
    int idx = blockIdx.x * blockDim.x + threadIdx.x;
    int idz = blockIdx.y * blockDim.y + threadIdx.y;
    if (idx > 0 && idx < dim_x - 1 && idz > 0 && idz < dim_z - 1) {
        Hy[idx * dim_z + idz] -= (dt / dx) * (Ex[(idx + 1) * dim_z + idz] - Ex[idx * dim_z + idz]);
    }
}

Caractéristiques typiques des signaux de canalisations

1. Canalisation métallique
Amplitude de réflexion : 3 à 5 fois supérieure à celle du milieu environnant.
Caractéristiques de phase : Axe de phase hyperbolique de même polarité, fréquence principale concentrée entre 500 et 800 MHz.

2. Canalisation non métallique (PVC)
Amplitude de réflexion : Un à deux ordres de grandeur inférieure à celle d'une canalisation métallique.
Propriétés spectrales : Fréquence principale entre 200 et 400 MHz, coefficient d'atténuation pouvant atteindre 0.5 dB/m.

Cas de validation en ingénierie

Cas 1 : Détection dans une zone de lœss secondaire
Paramètres du modèle : Permittivité du sol : \(\epsilon_r = 8.7\) ; Profondeur de la canalisation : 1.8 m.
Comparaison mesurée : Cofeficient de corrélation entre le signal simulé et le signal mesuré : 0.89 ; Erreur de profonduer < 0.2 m.

Cas 2 : Détection dans une conduite urbaine multifonctionnelle
Suppression des interférences multi-canalisations : Application d'un filtrage fréquentiel pour éliminer le diaphonie des canalisations adjacentes. Le rapport signal/bruit est amélioré pour atteindre plus de 15 dB.

Fonctionnalités d'extension du programme

1. Extension 3D

% Définition des champs 3D
Champ_Ex_3D = zeros(Nx, Ny, Nz);
% Traitement des milieux anisotropes
[Champ_Ex_3D, Champ_Hy_3D, Champ_Ez_3D] = mettreAJour_champs_3D(Champ_Ex_3D, Champ_Hy_3D, Champ_Ez_3D, proprietes_materiau);

2. Module d'inversion en temps réel

# Inversion par apprentissage profond basée sur PyTorch
class ReseauGPR(nn.Module):
    def __init__(self):
        super().__init__()
        self.encodeur = nn.Sequential(
            nn.Conv2d(1, 16, kernel_size=3),
            nn.ReLU()
        )
        self.couche_sortie = nn.Linear(16 * 64 * 64, 2)  # Sortie: profondeur et diamètre