- Fondamentaux et types de règles
Les systèmes flous de type 2 généralisés (GT2) partagent avec les systèmes intervalle-flous (IT2) deux familles principales de règles : les règles linguistiques de Zadeh-Mamdani et les règles TSK. La différence fondamentale réside dans le fait que chaque ensemble flou intervenant dans une règle GT2 est un ensemble flou de type 2 généralisé, caractérisé par des degrés d'appartenance secondaires quelconques sur l'intervalle [0,1].
Forme canonique d'une règle Zadeh GT2 :
$$\tilde{R}_Z^l : \text{IF } x_1 \text{ is } \tilde{F}_1^l \text{ and } \dots \text{ and } x_p \text{ is } \tilde{F}_p^l, \text{ THEN } y \text{ is } \tilde{G}^l$$
Forme canonique d'une règle TSK GT2 :
$$\tilde{R}_{TSK}^l : \text{IF } x_1 \text{ is } \tilde{F}_1^l \text{ and } \dots \text{ and } x_p \text{ is } \tilde{F}_p^l, \text{ THEN } y = g^l(x_1,\dots,x_p)$$
| Type de règle | Système flou correspondant |
|---|---|
| Règle Zadeh GT2 + implication de Mamdani | Système flou Mamdani GT2 (ou WH GT2 Mamdani) |
| Règle TSK GT2 + implication de Mamdani | Système flou TSK GT2 (ou WH GT2 TSK) |
- Fuzzification et nombres flous GT2
Contrairement aux systèmes IT2 qui disposent de trois fuzizficateurs (singleton, non singleton de type 1, non singleton IT2), les systèmes GT2 en admettent théoriquement quatre, le dernier étant le fuzzificateur non singleton GT2. Ce dernier transforme une mesure ponctuelle x_i = x_i^0 en un nombre flou GT2.
On distingue plusieurs catégories de nombres flous GT2 :
- Nombre flou GT2 totalement normal : son FOU est un nombre flou IT2 totalement normal et le plan α = 1 constitue un nombre flou de type 1 ou un nombre flou IT2 normal.
- Nombre flou GT2 normal : son FOU est un nombre flou IT2 normal et le plan α = 1 existe.
- Nombre flou GT2 partiellement normal : son FOU est un nombre flou IT2 normal.
Comme tout nombre flou IT2 doit pouvoir être vu comme un cas particulier de nombre flou GT2, seul le nombre flou GT2 totalement normal mérite pleinement le nom de nombre flou GT2. La fuzzification non singleton GT2 soulève encore des questions de recherche quant à sa nécessité pratique et ne sera pas approfondie ici.
- Moteur d'inférence et coupes α
Lorsque la fuzzification est de type singleton et que les fonctions d'appartenance secondaires sont convexes et normales, le calcul peut s'effectuer coupe à coupe selon l'axe vertical (méthode des tranches horizontales, dite horizontal slices ou whitened).
Soit Ã(x) un nombre flou GT2. Sa coupe α s'écrit :
$$\tilde{A}(x)_\alpha = [a_\alpha(x), b_\alpha(x)]$$
et l'on a :
$$\tilde{A}(x) = \sup_{\alpha \in [0,1]} \frac{\alpha}{[a_\alpha(x), b_\alpha(x)]}$$
Pour la i-ième prémisse de la l-ième règle, la tranche verticale au point de mesure x_i^0 devient :
$$\tilde{F}_i^l(x_i^0) = \sup_{\alpha \in [0,1]} \frac{\alpha}{[a_{i,\alpha}^l(x_i^0), b_{i,\alpha}^l(x_i^0)]}$$
À une hauteur α donnée, l'ensemble de sortie activé B̃ₐˡ admet une forme différente selon le type de système :
- Mamdani : μ_B̃ₐˡ(y|x⁰) = α / FOU(B̃ₐˡ)
- TSK : μ_B̃ₐˡ(x⁰) = α / [fₐˡ(x⁰), f̄ₐˡ(x⁰)] pour y = gˡ(x⁰)
Les bornes inférieure et supérieure de l'activation se calculent par :
$$\underline{\mu}_{\tilde{B}_\alpha^l}(y|x^0) = \underline{f}_\alpha^l(x^0) \wedge c_\alpha(y)$$
$$\overline{\mu}_{\tilde{B}_\alpha^l}(y|x^0) = \overline{f}_\alpha^l(x^0) \wedge d_\alpha(y)$$
- Partitionnement des règles et flux de traitement
Le partitionnement se décline en deux niveaux pour chaque coupe α :
- Partition de premier ordre : découpage de l'espace d'entrée en rectangles dans lesquels un nombre fixe de règles est activé.
- Partition de second ordre : subdivision apparaissant lorsque la formule analytique des frontières LMF ou UMF change à l'intérieur d'une partition de premier ordre.
Dans le cas d'ensembles GT2 fermés, chaque partition de premier ordre reste identique pour toutes les valeurs de α, ce qui permet de se restreindre à l'étude du cas α = 0. En revanche, les partitions de second ordre peuvent varier avec α, offrant ainsi aux systèmes GT2 une plus grande richesse structurelle que les systèmes IT2.
graph TD
mes[Mesures d'entrée] --> fuzz[Fuzzification singleton]
fuzz --> activ[Activation des prémises GT2]
activ --> coupe[Calcul des sorties par coupe α]
coupe --> part[Partitionnement des règles]
- Agrégation des ensembles de sortie activés
Deux stratégies existent pour traiter les ensembles de sortie activés par plusieurs règles.
Agrégation par opérations ensemblistes
Pour une fuzzification singleton, la sortie agrégée à la coupe α s'exprime :
$$\mu_{\tilde{B}_\alpha}(y|x^0) = \frac{\alpha}{[\underline{\mu}_{\tilde{B}_\alpha}(y|x^0), \overline{\mu}_{\tilde{B}_\alpha}(y|x^0)]} = \frac{\alpha}{FOU(\tilde{B}_\alpha(y|x^0))}$$
Les bornes se calculent par union (t-conorme) des activations individuelles :
$$\underline{\mu}_{\tilde{B}_\alpha}(y|x^0) = \bigvee_{l=1}^{M_F} \underline{\mu}_{\tilde{B}_\alpha^l}(y|x^0)$$
$$\overline{\mu}_{\tilde{B}_\alpha}(y|x^0) = \bigvee_{l=1}^{M_F} \overline{\mu}_{\tilde{B}_\alpha^l}(y|x^0)$$
La sortei globale du système WH GT2 s'obtient ensuite par :
$$\tilde{B}_{WH} = \sup_{\alpha \in [0,1]} \frac{\alpha}{FOU(\tilde{B}_\alpha(y|x^0))}$$
Agrégation différée lors de la défuzzification
L'union floue des ensembles de sortie activés augmente le temps de calcul et les besoins en mémoire. Dans les applications en temps réel, on peut préférer reporter l'agrégation jusqu'à l'étape de défuzzification.
- Réduction de type et défuzzification
La réduction de type dans les systèmes WH GT2 diffère de celle des systèmes IT2. Alors que la défuzzification après réduction de type IT2 se ramène à la moyenne des extrémités de l'intervalle réduit, la situation n'est pas aussi simple pour les systèmes GT2.
Une approche proposée par Almaraashi et collaborateurs en 2016 consiste à calculer d'abord le centroïde de chaque tranche verticale, éventuellement par interpolation, puis à défuzzifier le nombre flou de type 1 ainsi obtenu. Cette méthode, bien qu'informelle du point de vue axiomatique, satisfait une propriété fondamentale : lorsque toute l'incertitude sur les fonctions d'appartenance disparaît, le résultat doit coïncider avec celui d'un système flou de type 1.
graph LR
sorties[Ensembles de sortie activés] --> choix{Mode d'agrégation}
choix -->|ensembliste| agr[Sortie agrégée par coupe α]
choix -->|différée| def[Nœuds conservés pour défuzzification]
agr --> reduc[Réduction de type]
def --> reduc
reduc --> defuzz[Défuzzification]
- Illustration : régulation thermique
Considérons un système de régulation de température possédant deux entrées (température actuelle et variation de température) et une sortie (puissance d'un radiateur).
Deux règles linguistiques GT2 simplifiées peuvent s'écrire :
$$\tilde{R}_Z^1 : \text{IF } T \text{ is } \tilde{F}_T^1 \text{ AND } \Delta T \text{ is } \tilde{F}_{\Delta T}^1 \text{ THEN } P \text{ is } \tilde{G}^1$$
$$\tilde{R}_Z^2 : \text{IF } T \text{ is } \tilde{F}_T^2 \text{ AND } \Delta T \text{ is } \tilde{F}_{\Delta T}^2 \text{ THEN } P \text{ is } \tilde{G}^2$$
Le processus complet est le suivant : fuzzification singleton des mesures, calcul du degré d'activation de chaque règle, détermination des coupes α des sorties activées, choix d'une stratégie d'agrégation, réduction de type et défuzzification pour obtenir la puissance commandée.
graph LR
t[Température] --> fuzz[Fuzzifier]
dt[Variation] --> fuzz
fuzz --> act[Calcul d'activation]
act --> coupe[Sorties par coupe α]
coupe --> choix{Stratégie}
choix -->|ensembliste| agr[Agrégation]
choix -->|différée| def[Conservation]
agr --> reduc[Réduction de type]
def --> reduc
reduc --> defuzz[Défuzzification]
defuzz --> p[Puissance]
- Aspects pratiques et perspectives
Le déploiement de systèmes GT2 soulève plusieurs questions pratiques. La complexité calculatoire, notamment lors de la réduction de type et de l'agrégation ensembliste, peut devenir un goulot d'étranglement pour des applications en temps réel. Des techniques d'optimisation telles que le calcul parallèle, les approximations ou les réductions de type accélérées sont alors utiles.
| Facteur | Impact | Levier |
|---|---|---|
| Complexité calculatoire | Temps et mémoire accrus | Parallélisation, approximations |
| Nombre et forme des règles | Performence et lisibilité | Sélection par validation croisée |
| Niveau d'incertitude modélisé | Robustesse vs. précision | Ajustement du FOU et des SMF secondaires |
Les travaux futurs concernent l'approfondissement des fondements théoriques, le développement de méthodes de réduction de type plus efficaces, et l'application des systèmes GT2 à des domaines tels que le diagnostic médical, la finance ou la robotique autonome. L'hybridation avec l'apprentissage automatique et l'exploitation d'architectures parallèles constituent également des voies prometteuses.