Ensembles dénombrables
Un ensemble infini est dit dénombrable s'il existe une bijection entre cet ensemble et l'ensemble des entiers naturels \(\mathbb{N}\).
Suites numériques et limites
Bornes supérieures et inférieures
\(\max S=x \iff x \in S \text{ et } \forall y \in S, y \le x\)
\(\min S=x \iff x \in S \text{ et } \forall y \in S, y \ge x\)
Ensembles bornés
\(S\) est borné \(\iff \exists M > 0, \forall x \in S, |x| \le M\).
Suprémum et Infimum
Borne supérieure : \(\sup S = \min \{x \mid \forall y \in S, y \le x\}\)
Borne inférieure : \(\inf S = \max \{x \mid \forall y \in S, y \ge x\}\)
Théorème de la borne supérieure : Tout ensemble de nombres réels non vide et majoré possède une borne supérieure dans \(\mathbb{R}\). L'unicité des bornes supérieure et inférieure est garantie pour tout ensemble borné non vide.
Limites de suites
\(\lim_{n\rightarrow \infty}x_n = A \iff \forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall n > N, |x_n - A| < \varepsilon\)
Propriétés fondamentales :
- Unicité : La limite, si elle existe, est unique.
- Bornitude : Toute suite convergente est bornée.
- Conservation de l'ordre : Si \(\lim x_n > \lim y_n\), alors \(x_n > y_n\) pour \(n\) suffisamment grand.
- Théorème des gendarmes : Si \(x_n \le z_n \le y_n\) et \(\lim x_n = \lim y_n = a\), alors \(\lim z_n = a\).
Théorème de Stolz-Cesàro
Soit \(\{y_n\}\) une suite strictement croissante divergeant vers \(+\infty\). Si \(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = a\), alors \(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{x_n}{y_n} = a\).
Critères de convergence
- Convergence monotone : Toute suite monotone et bornée converge.
- Théorème des intervalles emboîtés : Pour une suite de segments \([a_n, b_n]\) tels que \([a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n]\) et \(\lim (b_n - a_n) = 0\), il existe un unique point \(\xi\) commun à tous les segmnets.
- Théorème de Bolzano-Weierstrass : De toute suite bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.
- Critère de Cauchy : Une suite \(\{x_n\}\) converge si et seulement si elle est une suite de Cauchy : \(\forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall n, m > N, |x_n - x_m| < \varepsilon\).
Limites de fonctions et continuité
Définition de la limite
\(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x) = a \iff \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x(0 < |x - x_0| < \delta), |f(x) - a| < \varepsilon\).
Théorème de Heine : \(\lim_{x\to x_0}f(x) = A\) si et seulement si pour toute suite \(\{x_n\}\) (où \(x_n \neq x_0\)) convergeant vers \(x_0\), la suite \(\{f(x_n)\}\) converge vers \(A\).
Continuité et types de discontinuités
Une fonction est continue en \(x_0\) si \(\lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)\).
- Espèce 1 : Limites à gauche et à droite existent mais sont différentes.
- Espèce 2 : Au moins une des limites latérales n'existe pas (ou est infinie).
- Point de discontinuité amovible : La limite existe mais diffère de \(f(x_0)\) ou \(f(x_0)\) n'est pas défini.
Continuité uniforme et Théorème de Cantor
Si \(f\) est continue sur un segment \([a, b]\), alors \(f\) est uniformément continue sur ce segment.
Calcul différentiel
Dérivabilité et différentielle
La fonction \(f\) est dérivable en \(x_0\) si la limite \(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = f'(x_0)\) existe. Si \(f\) est dérivable, elle est continue.
Dérivées de fonctions usuelles
\((x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}\)
\((\sin x)' = \cos x, (\cos x)' = -\sin x\)
\((\ln x)' = \frac{1}{x}, (a^x)' = a^x \ln a\)
\((\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}\)
Formule de Leibniz
Pour le calcul de la dérivée n-ième d'un produit : \[(f \cdot g)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}\]
Théorèmes des accroissements finis
- Théorème de Rolle : Si \(f\) est continue sur \([a, b]\), dérivable sur \((a, b)\) et \(f(a)=f(b)\), alors \(\exists \xi \in (a, b)\) tel que \(f'(\xi) = 0\).
- Théorème de Lagrange : Dans les mêmes conditions de régularité, \(\exists \xi \in (a, b)\) tel que \(f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)\).
- Théorème de Cauchy : Si \(f, g\) sont continues sur \([a, b]\) et dérivables sur \((a, b)\), alors \(\exists \xi \in (a, b)\) tel que \([f(b) - f(a)]g'(\xi) = [g(b) - g(a)]f'(\xi)\).
Règle de L'Hôpital
Pour les formes indéterminées \(\frac{0}{0}\) ou \(\frac{\infty}{\infty}\), si \(\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}\) existe, alors \(\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}\).
Formule de Taylor
Reste de Peano : \(f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + o((x-x_0)^n)\).
Reste de Lagrange : \(r_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\) pour un \(\xi\) entre \(x\) et \(x_0\).
Méthodes numériques de résolution d'équations
Algorithme de dichotomie
def bisection(func, low, high, tolerance):
while (high - low) > tolerance:
midpoint = (low + high) / 2
if func(midpoint) == 0:
return midpoint
elif func(low) * func(midpoint) < 0:
high = midpoint
else:
low = midpoint
return (low + high) / 2
Méthode de Newton-Raphson
def newton_method(func, deriv, initial_guess, tolerance):
x_val = initial_guess
while True:
next_x = x_val - func(x_val) / deriv(x_val)
if abs(next_x - x_val) < tolerance:
return next_x
x_val = next_x
Calcul intégral
Intégrale indéfinie (Primitive)
Si \(F'(x) = f(x)\), alors \(\int f(x)dx = F(x) + C\).
- Intégration par parties : \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\).
- Changement de varible : \(\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du\).
Intégrale de Riemann
Définie par la limite des sommes de Riemann : \(\int_a^b f(x)dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum f(\xi_i)\Delta x_i\).
Sommes de Darboux : L'intégrabilité au sens de Riemann est équivalente à l'égalité des bornes inférieure et supérieure des sommes de Darboux.
Théorème fondamental de l'analyse
Si \(f\) est continue sur \([a, b]\), alors la fonction \(F(x) = \int_a^x f(t)dt\) est dérivable et \(F'(x) = f(x)\).
Formule de Newton-Leibniz : \(\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)\).
Applications géométriques
- Aire sous une courbe : \(S = \int_a^b |f(x)|dx\).
- Longueur d'arc : \(L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt\).
- Volume de révolution : \(V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx\).