Cet article aborde le calcul d'une expression mathématique complexe impliquant des sommes modulaires, en utilisant des techniques avancées telles que le théorème de Lucas et le théorème des restes chinois. Le problème consiste à évaluer la somme suivante, où p est un nombre premier.

Le nombre premier donné est p = 999911659. Les facteurs premiers de p-1 sont 2, 3, 4679 et 35617. L'objectif est de calculer efficacement la somme.

En utilisant les propriétés de l'arithmétique modulaire, la somme peut être réécrite comme suit : La résolution de ce type de somme fait appel au théorème de Lucas, qui permet de calculer des coefficients binomiaux modulo un nombre premier. Les prérequis pour le théorème de Lucas incluent la pré-calcul des factorielles et des inverses modulaires.

Le théorème de Lucas stipule que pour des entiers n et k, et un nombre premier p, le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ modulo p peut être calculé en utilisant les représentations en base p de n et k.

Une implémentation typique du théorème de Lucas et de ses axuiliaires est présentée ci-dessous :

// Structure pour stocker les précalculs de factorielles modulo m
long long factorial_mod[MAX_MOD];

// Initialise les factorielles jusqu'à mod
void precompute_factorials(int mod) {
    factorial_mod[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= mod; ++i) {
        factorial_mod[i] = (factorial_mod[i - 1] * i) % mod;
    }
}

// Algorithme d'extension d'Euclide pour trouver le PGCD et les coefficients de Bézout
void extended_gcd(long long a, long long b, long long& gcd, long long& x, long long& y) {
    if (b == 0) {
        gcd = a;
        x = 1;
        y = 0;
    } else {
        extended_gcd(b, a % b, gcd, y, x);
        y -= x * (a / b);
    }
}

// Calcule l'inverse modulaire de a modulo m
long long mod_inverse(long long a, long long m) {
    long long gcd, x, y;
    extended_gcd(a, m, gcd, x, y);
    return (gcd == 1) ? (x % m + m) % m : -1; // Retourne -1 si l'inverse n'existe pas
}

// Calcule le coefficient binomial C(n, k) mod p en utilisant le théorème de Lucas
long long lucas_theorem(long long n, long long k, long long p) {
    if (k < 0 || k > n) {
        return 0;
    }
    if (k == 0 || k == n) {
        return 1;
    }
    if (k > n / 2) {
        k = n - k;
    }

    long long result = 1;
    while (n > 0 || k > 0) {
        long long ni = n % p;
        long long ki = k % p;

        if (ki < 0 || ki > ni) {
            return 0; // Si ki > ni, le coefficient binomial est 0
        }

        // Calcul du terme C(ni, ki) mod p
        long long term = factorial_mod[ni];
        term = (term * mod_inverse(factorial_mod[ki], p)) % p;
        term = (term * mod_inverse(factorial_mod[ni - ki], p)) % p;
        
        result = (result * term) % p;

        n /= p;
        k /= p;
    }
    return (result % p + p) % p;
}

Dans le contexte de ce problème, nous devons calculer la somme pour différents moduli premiers (2, 3, 4679, 35617). Le théorème des restes chinois (CRT) est alors utilisé pour combiner ces résultats partiels et obtenir la solution finale modulo p. Le CRT permet de trouver un unique entier x tel que x est congru à $a_i$ modulo $m_i$ pour plusieurs paires $(a_i, m_i)$, où les $m_i$ sont premiers entre eux.

La démarche consiste à calculer la somme modulo chacun des facteurs premiers de p-1, puis à utiliser le CRT pour reconstruire la solution finale. L'astuce est que si un nombre est congru à certains restes modulo les facteurs premiers de p-1, il est aussi congru à un reste spécifique modulo p-1 (en utilisant le CRT).

Une implémentation C++ illustrant ces concepts, incluant la gestion des précalculs, le calcul modulaire, l'extension d'Euclide, la fonction d'niverse modulaire, le théorème de Lucas adapté pour les calculs par morceaux, et enfin l'application du CRT, est fournie.

#include <iostream>
#include <vector>

// Utilisation de long long pour éviter les dépassements
using ll = long long;

const int MAX_PRIME_FACTOR_LIMIT = 35617; // Limite pour les factorielles précalculées
const ll MODULUS = 999911658; // Modulus principal (p-1)

ll precomputed_factorials[MAX_PRIME_FACTOR_LIMIT + 5];
int prime_factors[5] = {0, 2, 3, 4679, 35617}; // Facteurs premiers de p-1
int remainders[5]; // Restes pour chaque facteur premier

int N_val, G_val;

// Calcule les factorielles modulo MODULUS
void generate_factorials() {
    precomputed_factorials[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= MAX_PRIME_FACTOR_LIMIT; ++i) {
        precomputed_factorials[i] = (ll)precomputed_factorials[i - 1] * i % MODULUS;
    }
}

// Extension d'Euclide pour calculer a*x + b*y = gcd(a, b)
void extended_euclidean(int a, int b, int& x, int& y) {
    if (!b) {
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    }
    int temp_x, temp_y;
    extended_euclidean(b, a % b, temp_x, temp_y);
    x = temp_y;
    y = temp_x - (a / b) * temp_y;
}

// Calcule l'inverse modulaire de a modulo p
int modular_inverse(int a, int p) {
    int x, y;
    extended_euclidean(a, p, x, y);
    return (x % p + p) % p;
}

// Calcule le terme C(n, k) mod p en utilisant le théorème de Lucas et les factorielles précalculées
int calculate_lucas_term(int n_total, int k_val, int p) {
    int result = 1;
    while (n_total > 0 || k_val > 0) {
        int n_part = n_total % p;
        int k_part = k_val % p;

        if (k_part < 0 || k_part > n_part) {
            return 0; // C(n_part, k_part) est 0 si k_part > n_part
        }

        // Calcul de C(n_part, k_part) mod p
        int term = precomputed_factorials[n_part];
        term = (ll)term * modular_inverse(precomputed_factorials[k_part], p) % p;
        term = (ll)term * modular_inverse(precomputed_factorials[n_part - k_part], p) % p;
        
        result = (ll)result * term % p;

        n_total /= p;
        k_val /= p;
    }
    return result;
}

// Fonction d'exponentiation rapide (puissance modulaire)
ll power(ll base, ll exp) {
    ll res = 1;
    base %= (MODULUS + 1); // Assurer que la base est dans le bon range avant de commencer
    while (exp > 0) {
        if (exp % 2 == 1) res = (res * base) % (MODULUS + 1);
        base = (base * base) % (MODULUS + 1);
        exp /= 2;
    }
    return res;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &N_val, &G_val);

    // Cas spécial où G est un multiple de p, la somme est 0
    if (G_val % (MODULUS + 1) == 0) {
        printf("0\n");
        return 0;
    }

    generate_factorials(); // Précalculer les factorielles

    // Itérer sur les diviseurs de N pour appliquer le CRT
    for (int i = 1; i * i <= N_val; ++i) {
        if (N_val % i == 0) {
            for (int j = 1; j <= 4; ++j) {
                remainders[j] = (remainders[j] + calculate_lucas_term(N_val, i, prime_factors[j])) % prime_factors[j];
            }
            if (i * i != N_val) {
                int divisor2 = N_val / i;
                for (int j = 1; j <= 4; ++j) {
                    remainders[j] = (remainders[j] + calculate_lucas_term(N_val, divisor2, prime_factors[j])) % prime_factors[j];
                }
            }
        }
    }

    // Application du Théorème des Restes Chinois
    ll final_result = 0;
    ll combined_modulus = MODULUS; // p-1

    for (int i = 1; i <= 4; ++i) {
        int current_prime = prime_factors[i];
        int current_remainder = remainders[i];
        
        ll m_i = current_prime;
        ll M_i = combined_modulus / m_i;
        
        int inv_M_i;
        extended_euclidean(M_i, m_i, inv_M_i, y); // Calcule l'inverse de M_i mod m_i
        inv_M_i = (ll)inv_M_i % m_i; // Normaliser l'inverse
        
        final_result = (final_result + (ll)current_remainder * M_i % combined_modulus * inv_M_i % combined_modulus) % combined_modulus;
    }

    final_result = (final_result % combined_modulus + combined_modulus) % combined_modulus; // Assurer la positivité

    printf("%lld\n", power(G_val, final_result)); // Calculer G élevé à la puissance du résultat final

    return 0;
}

Il est crucial de noter l'importance d'utiliser des types de données appropriés (comme long long en C++) pour éviter les débordements lors des calculs intermédiaires, particulièrement dans les fonctions d'exponentiation rapide et lors des multiplications dans les calculs modulaires. La recherceh d'un bug pendant 3 heures due à un manque de long long dans l'exponentiation rapide est un rappel fréquent dans la programmation compétitive.